谁能解答这道砝码题目？

上海众渊砝码厂2018.12.11

谁能解答这道砝码题目？

假设有一个重为 a 克的砝码，那么用它自然能够称出 0 克和 a 克的物品。不过，如果虚设天平的某一端为正的话，利用此天平和砝码我们还能称出 - a 克的物品——不妨规定把 a 克砝码放在天平右侧，将物品放在天平左侧，由此可以称出 a 克的物品；但若把 a 克砝码放在天平左侧，把物品放在天平右侧，由此称出的物品重量记作 - a。目前这样一种设想有点怪异，但这实际上和人类引入负数的思想是相同的。很快大家便会发现，这种设定精妙地简化了我们的计算和推导。现在暂且把该砝码能够称出的重量 - a，0，a 放进一个表达式中：

现在，假设有两个不同规格的砝码，分别重 a 克和 b 克（a < b）。按照上面的规定，我们可以称出 - a - b ，- b，- a，a - b，0，b - a，a，b，a + b。例如，为了称出 b - a，只需要把 b 克的砝码放在右端，物品和 a 克的砝码放在左端；按照上面的约定，如果天平平衡，物品就是 b - a 克。而要称出 a - b， 则把 b 克砝码放在左端，a 克砝码和物品放在右端，如果平衡则物品是 a - b 克。同样地，把这些数塞进一个表达式：

可以看到，它不是别的，正好是

的展开式。
另外，假设有 m 个同样重为 a 克的砝码，则可以称出 - ma，- （m - 1）a，…，0，…，（m - 1）a，ma 克的物品。暂且按照上面的办法，把这些数也塞进一个表达式中 ：

结合上面的分析，容易看出，如果有 m 个 a 克的砝码，n 个 b 克的砝码，等等，那么可以称出物品的克数就是表达式

展开后出现过的那些 x 的幂数，而展开式中 x 的 i 次项系数就表示用给定的这组砝码称出 i 克物品的不同方法数。
如果要称出 1 到 40 中所有的整克数，并且要求所用的砝码尽可能少，我们自然希望这些砝码能够“物尽其用”，称出的克数正好都是我们需要的克数，并且称的方法都是*的。也就是说，上述表达式展开后应该恰好是

反过来，就是要把

还原成

的形式。
对这个式子进行分解，一共有八种不同的方案：

前四个式子展示了我们实际上是如何对原式进行逐步分解的。它们的意义依次为：（1） 40 个 1 克的砝码；（2） 1 个 1 克，13 个 3 克的砝码 ；（3） 1 个 1 克，1 个 3 克以及 4 个 9 克的砝码；（4） 1 个 1 克，1 个 3 克，1 个 9 克以及 1 个 27 克的砝码。其中，第四个分解式是基本的，它就是我们想要的答案。
当然我们还要说明，除了上面列举的 8 种组合之外没有其他的组合。这是一个多少有些复杂的讨论，不过我们可以就此为止了，因为上面的分解式看起来应该包含了所有可能的分解。少的那组已经明摆着了，无须再说。大家可以到 死理性派小组 参与详细的讨论。

众渊砝码厂。